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큰 기수

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목차

1. 개요

큰 기수는 큰 기수 공리에 의해 그 존재가 요구되는 기수를 의미한다. 큰 기수 공리는 ZFC 공리계의 일관성을 넘어 더 강력한 공리계를 구성하며, 무모순성 강도에 따라 순서가 정해진다. 큰 기수 공리는 다양한 종류가 있으며, 도달 불가능한 기수, 가측 기수, 초콤팩트 기수 등이 있다. 큰 기수의 존재는 집합론의 모형 이론과 관련되며, 철학적 함의를 갖는다. 일부 집합론자들은 큰 기수 공리가 ZFC의 확장 중에서 선호되는 지위를 갖는다고 생각하는 반면, 다른 집합론자들은 이에 동의하지 않으며 다양한 관점을 제시한다.

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큰 기수

2. 정의

'''큰 기수'''는 큰 기수 공리에 의해 그 존재가 요구되는 기수이다. 큰 기수 공리는 일반적으로 "특정 성질 P를 만족하는 기수가 존재한다"는 형태를 띤다. ZFC 공리계가 일관적이라면, "성질 P를 만족하는 기수가 존재하지 않는다"는 명제 또한 일관적이다. 그러나 ZFC에 큰 기수 공리를 추가하면 ZFC의 일관성을 증명할 수 있다.

기수가 "거대 기수적 성질"을 갖기 위한 필요 조건 중 하나는, 그러한 기수의 존재가 ZFC와 모순되지 않다는 것이 알려져 있으며, ZFC의 무모순성을 가정했을 때 ZFC + "그러한 기수는 존재하지 않는다"는 주장이 무모순하다는 것이다.

3. 성질

큰 기수 공리들은 대체로 무모순성 세기에 대하여 전순서를 이루는 것으로 보인다. 즉, 두 큰 기수 공리 P_1, P_2에 대하여, 다음 가운데 하나가 성립한다.


  • \mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_1)\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_2)
  • \mathsf{ZFC}+A_1\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_2)
  • \mathsf{ZFC}+A_2\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_1)


이는 메타정리가 아니며, 단지 경험적인 관찰에 불과하다. 휴 우딘은 만약 Ω-conjecture영어이 성립한다면 이 현상이 설명된다는 것을 보였다.

무모순성의 전순서는 기수의 크기의 전순서와 대체로 일치하나, 일반적으로 다르다. 예를 들어, 거대 기수(huge cardinal영어)의 존재는 무모순성 세기에 따라서 초콤팩트 기수(supercompact cardinal영어)의 존재보다 더 강력하나, 만약 거대 기수와 초콤팩트 기수가 둘 다 존재한다면, 가장 작은 거대 기수는 가장 작은 초콤팩트 기수보다 더 작다.

거대한 기수 공리에 대한 주목할 만한 관찰은 이들이 무모순성 강도에 의해 엄격한 선형 순서로 나타난다는 것이다. 즉, 다음의 예외는 알려져 있지 않다. 두 개의 거대한 기수 공리 ''A''1과 ''A''2가 주어졌을 때, 정확히 세 가지 중 하나가 발생한다.

# ZFC가 모순되지 않는 한, ZFC+''A''1이 무모순적이면 ZFC+''A''2도 무모순적이다.

# ZFC+''A''1은 ZFC+''A''2가 무모순적임을 증명한다.

# ZFC+''A''2는 ZFC+''A''1이 무모순적임을 증명한다.

이들은 문제의 이론 중 하나가 실제로 모순적이지 않는 한 상호 배타적이다.

1번의 경우, 우리는 ''A''1과 ''A''2가 동일무모순이라고 말한다. 2번의 경우, 우리는 ''A''1이 ''A''2보다 무모순성 면에서 더 강하다고 말한다 (3번의 경우 그 반대). 만약 ''A''2가 ''A''1보다 강하다면, ZFC+''A''1은 ZFC+''A''2가 무모순적임을 증명할 수 없으며, ZFC+''A''1이 실제로 무모순적이라는 추가적인 가설이 있더라도 마찬가지이다. 이는 괴델의 제2 불완전성 정리에서 따른다.

거대한 기수 공리가 무모순성 강도에 의해 선형적으로 정렬된다는 관찰은 단지 관찰일 뿐, 정리(theorem)는 아니다. (거대한 기수 속성에 대한 인정된 정의가 없으면, 일반적인 의미에서 증명의 대상이 되지 않는다.) 또한 세 가지 경우 중 어떤 경우가 해당하는지 모든 경우에 알려진 것은 아니다. 사하론 셸라는 "이것을 설명하는 어떤 정리가 있는가, 아니면 우리의 시각이 우리가 깨닫는 것보다 더 획일적인가?"라고 질문했다. 그러나 우딘은 자신의 Ω-논리의 주요 미해결 문제인 Ω-추측으로부터 이를 추론한다. 많은 조합론적 명제가, 예를 들어 그 사이의 중간 지점에 있는 것이 아니라, 정확히 어떤 거대한 기수와 동일무모순적이라는 점 또한 주목할 만하다.

무모순성 강도의 순서는 거대한 기수 공리에 대한 가장 작은 증거의 크기 순서와 반드시 같지 않다. 예를 들어, 거대한 기수의 존재는 초강력 기수의 존재보다 무모순성 강도 측면에서 훨씬 더 강력하지만, 둘 다 존재한다고 가정하면, 첫 번째 거대한 기수는 첫 번째 초강력 기수보다 작다.

3. 1. 무모순성 강도

큰 기수 공리들은 대체로 무모순성 세기에 대하여 전순서를 이루는 것으로 보인다.[4][5] 즉, 두 큰 기수 공리 P_1, P_2에 대하여, 다음 가운데 하나가 성립한다.

  • \mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_1)\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_2)
  • \mathsf{ZFC}+A_1\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_2)
  • \mathsf{ZFC}+A_2\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_1)


이는 메타정리가 아니며, 단지 경험적인 관찰에 불과하다.[4] 휴 우딘은 만약 Ω-추측이 성립한다면 이 현상이 설명된다는 것을 보였다.[5]

무모순성의 전순서는 기수의 크기의 전순서와 대체로 일치하나, 일반적으로 다르다. 예를 들어, 거대 기수의 존재는 무모순성 세기에 따라서 초콤팩트 기수의 존재보다 더 강력하나, 만약 거대 기수와 초콤팩트 기수가 둘 다 존재한다면, 가장 작은 거대 기수는 가장 작은 초콤팩트 기수보다 더 작다.

만약 ''A''2가 ''A''1보다 강하다면, ZFC+''A''1은 ZFC+''A''2가 무모순적임을 증명할 수 없으며, ZFC+''A''1이 실제로 무모순적이라는 추가적인 가설이 있더라도 마찬가지이다. 이는 괴델의 불완전성 정리에서 따른다.

사하론 셸라는 "이것을 설명하는 어떤 정리가 있는가, 아니면 우리의 시각이 우리가 깨닫는 것보다 더 획일적인가?"라고 질문했다.[4]

4. 예시

다양한 큰 기수 공리들이 존재하며, 이들 사이에는 무모순성 강도에 따른 위계가 존재한다. 증가하는 무모순성 순서로 정렬한, 대표적인 큰 기수 공리들의 목록은 다음과 같다.

5. 철학적 함의 및 인식론적 위상

큰 기수 공리는 폰 노이만 우주 V의 맥락에서 이해되는데, 이는 주어진 집합의 모든 부분 집합을 모으는 멱집합 연산을 초한적으로 반복하여 구성된다. 일반적으로, 큰 기수 공리가 ''실패''하는 모형은 해당 공리가 성립하는 모형의 부분 모형으로 자연스럽게 간주될 수 있다. 예를 들어, 접근 불가능 기수가 있다면, 첫 번째 접근 불가능 기수의 높이에서 "우주를 잘라내면" 접근 불가능 기수가 없는 우주가 생성된다. 또는 가측 기수가 있다면, 전체 멱집합 연산 대신 ''정의 가능한'' 멱집합 연산을 반복하면 괴델의 구성 가능 우주 L이 생성되는데, L은 "가측 기수가 존재한다"는 명제를 만족하지 않는다(비록 가측 기수를 서수로 포함하고 있음에도 불구하고).

많은 집합론자(특히 카발의 전통에서 영감을 받은 사람들)는 큰 기수 공리가 우리가 고려해야 할 "모든" 집합을 고려하고 있다고 "말하며", 그 부정은 "제한적"이며, 우리가 그 집합 중 일부만 고려하고 있다고 말한다. 또한, 큰 기수 공리의 결과는 자연스러운 패턴으로 나타나는 경향이 있다. 이러한 이유로, 그러한 집합론자들은 큰 기수 공리가 ZFC의 확장 중에서 선호되는 지위를 갖는다고 생각하는 경향이 있으며, 이는 덜 명확한 동기를 가진 공리(예: 마틴의 공리)나 직관적으로 가능성이 낮다고 생각하는 다른 공리(예: V = L)와는 공유되지 않는다. 이 그룹의 핵심 실재론자는 더 간단하게, 큰 기수 공리가 ''참''이라고 말할 것이다.

이러한 관점은 집합론자들 사이에서 보편적이지 않다. 일부 형식주의자는 표준 집합론이 정의상 ZFC의 결과에 대한 연구라고 주장할 것이며, 다른 시스템의 결과를 연구하는 데 원칙적으로 반대하지 않더라도, 큰 기수를 특별히 선호할 이유가 없다고 본다. 또한 존재론적 최대주의가 적절한 동기가 아니라고 부인하고, 심지어 큰 기수 공리가 거짓이라고 믿는 실재론자도 있다. 마지막으로, 큰 기수 공리의 부정이 ''제한적''이라고 부인하는 사람들도 있는데, (예를 들어) L 자체는 해당 명제를 만족하지 않더라도, L 내에 가측 기수가 존재한다고 믿는 추이적 집합 모형이 존재할 수 있다는 점을 지적한다.

참조

[1] 서적 Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory https://archive.org/[...] Oxford University Press
[2] 웹사이트 Does anyone still seriously doubt the consistency of ZFC? https://mathoverflow[...] MathOverflow 2022-12-24
[3] 서적 Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory Oxford University Press
[4] 간행물 The Future of Set Theory
[5] 간행물 The continuum hypothesis, part II http://www.ams.org/n[...] 2012-05-03


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